Introdução

As Curvas Cíclicas, também conhecidas como curvas cicloidais, são curvas onde o traçado é dado pela tragetoria de um ponto P fixo de uma circunferência que gira sem deslizar sobre uma curva, como uma reta ou outra circunferência. As curvas cíclicas têm uma ampla variedade de aplicações e são frequentemente usadas para descrever o movimento de objetos em rotação, modelar fenômenos naturais e criar desenhos e construções geométricas.

Uma das curvas cíclicas mais conhecidas é a hipocicloide, que é gerada pela rotação de um círculo menor dentro de outro círculo maior. A hipocicloide tem várias propriedades interessantes, como o fato de que ela é uma curva fechada e periódica, e que pode ser usada para descrever o movimento de uma roda dentro de outra. Além disso, a hipocicloide tem um número finito de pontos duplos, onde a curva se sobrepõe a si mesma. Esses pontos duplos podem ser usados para construir polígonos regulares, como o pentágono e o decágono.

Outra curva cíclica comum é a epicicloide, que é gerada pela rotação de um círculo maior em torno de outro círculo menor. A epicicloide é uma curva fechada e periódica, e pode ser usada para descrever o movimento de um ponto em um disco que gira em torno de outro disco. A epicicloide tem um número infinito de pontos duplos, que formam uma espiral chamada de raio de cuspidal.

Na geometria, as curvas cíclicas são frequentemente usadas para criar desenhos e construções geométricas interessantes. Por exemplo, é possível usar a hipocicloide para construir um pentágono regular usando um compasso e uma régua. A epicicloide também pode ser usada para criar desenhos simétricos, como a estrela de Davi.

Existem três elementos principais que descrevem uma curva cíclica: o ponto gerador, a circunferência geradora e a circunferência diretriz.

• O ponto gerador é o ponto fixo P em uma circunferência que gira sobre a curva plana. À medida que a circunferência gira, o ponto P descreve a curva cíclica.
• A circunferência geradora é a circunferência que gira em torno da curva plana , gerando a curva cíclica. A circunferência geradora pode ser de tamanho diferente da circunferência diretriz, dependendo da curva cíclica específica.
• A circunferência diretriz é a curva plana sobre a qual a circunferência geradora rola, sem deslizar, para gerar a curva cíclica. A circunferência diretriz pode ser uma reta ou uma outra circunferência, e a curva cíclica resultante será diferente dependendo da curva diretriz escolhida.

Construções geométricas

Para reproduzir as construções geométricas da cicloide, epicicloide e hipocicloide, é possível fazê-lo manualmente usando papel, grafite, compasso e régua, ou através de um software gratuito de geometria, como o Geogebra.

Antes de iniciar a construção dessas curvas, é importante que o aluno saiba como fazer rapidamente as seguintes construções: a mediatriz, que é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio, a bissetriz, que é uma semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes, e a retificação da circunferência, que é o processo de obter um segmento de reta com medida igual ao comprimento da circunferência.

Para a retificação, um dos métodos utilizados é o processo de Arquimedes, que envolve dividir o diâmetro da circunferência em sete partes iguais e aproximar o comprimento da circunferência para vinte e duas dessas partes, o que equivale a três vezes o diâmetro mais um sétimo. Utilizando o teorema de Tales, o aluno pode dividir o diâmetro em sete partes e transferir três vezes o tamanho do diâmetro e mais uma das partes para uma reta qualquer, formando o segmento que tem comprimento igual à circunferência.

Com essas construções básicas, é possível construir a cicloide, epicicloide e hipocicloide, seguindo os passos específicos de cada uma dessas curvas. O Geogebra pode ser um recurso útil para visualizar essas curvas e explorar suas propriedades.

Ciclóide

A ciclóide é uma curva gerada pela trajetória de um ponto em uma circunferência que rola sem deslizar ao longo de uma reta. O ponto que descreve a curva é localizado na borda da circunferência em movimento e é chamado de geratriz. A ciclóide é conhecida por suas propriedades interessantes, incluindo o fato de que a área sob a curva é três vezes a área do círculo que gerou a curva.

Construção

Para construir uma ciclóide a partir de uma circunferência e sua retificação, podemos seguir os seguintes passos:

1. Dividimos a circunferência em partes iguais, utilizando por exemplo, a mediatriz de um segmento da circunferência e a bissetriz dos ângulos que foram formados. Podemos dividir a circunferência em quantas partes desejarmos, e o número final de pontos na curva será diretamente proporcional ao número de partes da divisão.

   

2. Dividimos o segmento PQ em um número igual de divisões à circunferência.

   

3. Traçamos retas paralelas ao segmento PQ que intersectam os pontos na circunferência dois a dois.

   

4. Traçamos um arco a partir do ponto P com centro em 1' passando pela reta auxiliar que passa pelo ponto 1.

   

5. Repetimos o passo anterior para os demais pontos do segmento PQ, sempre traçando o arco a partir do ponto P e centro nos pontos de PQ.

   

6. Ligamos os pontos tentando criar uma curva.

   

Braquistócrona e a Tautócrona

A braquistócrona e a tautócrona são duas curvas famosas que surgiram no estudo da geometria analítica no século XVII e que têm aplicações em física e engenharia. Ambas as curvas são cíclicas e possuem propriedades interessantes que foram estudadas por matemáticos ao longo dos anos.

A braquistócrona é a curva que conecta dois pontos em um plano, onde um objeto viajará mais rapidamente entre os dois pontos sob a ação da gravidade. A palavra braquistócrona vem do grego "brachistos", que significa "mais rápido", e "chronos", que significa "tempo". A curva é gerada pela trajetória de uma partícula que se move sob a influência da gravidade, assumindo que a única força que age sobre a partícula é a gravidade.

A tautócrona, por outro lado, é a curva que conecta dois pontos em um plano, onde um objeto viajará do primeiro ponto ao segundo em um tempo constante, independentemente de sua posição inicial na curva. A palavra tautócrona vem do grego "tauto", que significa "mesmo", e "chronos", que significa "tempo". A curva é gerada pela trajetória de uma partícula que se move sob a influência da gravidade, assumindo que a única força que age sobre a partícula é a gravidade.

Ambas as curvas foram estudadas por Isaac Newton e Johann Bernoulli, que descobriram que a braquistócrona é a inversa da cicloide, e que a tautócrona é uma cicloide especial, chamada de cicloide isócrona. As curvas têm aplicações em física, engenharia e matemática, e foram estudadas por muitos outros matemáticos ao longo dos anos. A braquistócrona e a tautócrona são exemplos interessantes de curvas cíclicas que possuem propriedades únicas e importantes na geometria analítica.

Equação Paramétrica

A equação paramétrica da ciclóide é dada por:

Geogebra

onde r é o raio da circunferência, t é o parâmetro que varia de 0 a 2π, x(t) e y(t) são as coordenadas do ponto que descreve a ciclóide.

Essa equação pode ser obtida a partir da geometria da ciclóide, utilizando as relações trigonométricas e a propriedade da curva de que o comprimento da ciclóide é igual ao comprimento da reta sobre a qual a circunferência rola.

A equação paramétrica da ciclóide é utilizada em diversas áreas, como na física para modelar o movimento de objetos em ciclóides e na engenharia para projetar engrenagens e mecanismos de transmissão de movimento.

Epiciclóide

A epiciclóide é uma curva plana que surge da trajetória de um ponto de um círculo menor que rola, sem deslizar, sobre um círculo maior. O ponto na circunferência menor descreve uma curva que se aproxima da forma de uma espiral ou de uma curva sinusoidal, dependendo do tamanho dos círculos envolvidos. A epiciclóide possui várias aplicações em matemática e engenharia, como na construção de engrenagens para transmissão de movimento. Sua equação paramétrica depende dos raios dos círculos envolvidos e do ângulo de rotação.

Construção

Dada uma circunferência diretriz e geratriz de raio 3 e 1, respectivamente, seguimos o seguinte roteiro:

1. Como a razão entre os raios é 3, sabemos que se trata de uma epiciclóide notável de 3 ciclos. Logo, devemos dividir a circunferência diretriz em três partes iguais, mas como iremos construir apenas um dos ciclos, apenas a primeira divisão é necessária. Podemos criar o segmento OP e a partir do ponto O criar um ângulo de 120º, assim encontrando o ponto Q.

   

2. Assim como na ciclóide, devemos dividir tanto a circunferência geratriz quanto, agora se tratando de um arco, o arco PQ em um mesmo número de partes iguais. Dividir o arco em partes iguais é tão simples quanto fazer a bissetriz do ângulo POQ e seguir fazendo quantas bissetrizes forem necessárias com os demais ângulos que são formados.

   

3. Com centro em O, trace arcos auxiliares passando pelos pontos da circunferência menor.

   

4. Com distância P1 e centro 1' e 7' (porque ambos têm a mesma distância, P1 = P7), trace arcos que intersectam o arco auxiliar criado no passo anterior e que passa por esses pontos. Assim teremos os primeiros pontos da curva.

   

5. O passo anterior deve ser repetido para as demais divisões da circunferência. Novamente, o ponto que encontraremos na divisão 4' pode ser encontrado por um segmento de reta definido por O4' e que intersecta o arco auxiliar que passa pelo ponto 4.

   

6. Agora traçamos a curva ligando os pontos encontrados.

   

Epiciclóides notáveis

Se os raios das circunferências diretora e geradora forem proporcionais, e a circunferência geradora completar uma volta inteira sobre a diretora, a epiciclóide começará e terminará no mesmo ponto. Neste caso, o número de ciclos da epiciclóide é representado por "n", o que significa que a circunferência geradora precisa dar n voltas em torno de si mesma antes de completar uma volta inteira em torno da diretora.

Equação Paramétrica

A equação paramétrica da epiciclóide depende de vários parâmetros, como o raio da circunferência geratriz, o raio do círculo oscilante e a distância do ponto de partida. Aqui, consideraremos o caso em que o ponto gerador está localizado na circunferência geratriz e, portanto, não há distância do ponto de partida.

Seja R o raio da circunferência geratriz e r o raio do círculo oscilante. Seja também θ o ângulo que a reta que liga o centro do círculo oscilante ao ponto gerador faz com a horizontal. Então, a equação paramétrica para uma epiciclóide pode ser escrita como:

Geogebra

Essa equação descreve as coordenadas x e y de um ponto na epiciclóide em relação ao seu centro. A forma da epiciclóide depende dos valores de R, r e θ. Por exemplo, se R = r, então a epiciclóide se reduz a uma circunferência. Se R é um múltiplo inteiro de r, então a epiciclóide tem pontos notáveis onde a curva intersecta a circunferência geratriz.

A equação paramétrica da epiciclóide pode ser usada para traçar a curva em um plano cartesiano. À medida que θ varia de 0 a 2π, os valores correspondentes de x e y podem ser plotados. A curva resultante pode ser muito complexa e apresentar muitas propriedades interessantes. A epiciclóide é frequentemente usada em aplicações práticas, como na engrenagem de máquinas, onde os dentes da engrenagem são projetados para seguir a forma da curva.

Hipociclóide

Uma hipociclóide é uma curva gerada pelo movimento de uma circunferência menor que rola sem deslizar dentro de uma circunferência maior. A curva traçada pelo ponto fixo da circunferência menor é a hipociclóide. É uma curva periódica, com um número finito de lóbulos, dependendo da relação entre os raios das circunferências envolvidas. A hipociclóide tem várias aplicações em engenharia e matemática, incluindo a construção de engrenagens e a modelagem de sistemas mecânicos. A equação paramétrica da hipociclóide pode ser encontrada a partir da equação paramétrica da epiciclóide.

Construção

1. Na circunferência diretriz de raio 3, encontra-se a circunferência geratriz de raio 1.

   

2. Divida a circunferência diretriz em três partes iguais, pois trata-se de uma hipociclóide notável de 3 ciclos. O ângulo POQ é igual a 120º.

   

3. Divida o arco PQ em oito partes iguais.

   

4. Divida a circunferência geratriz em oito partes iguais.

   

5. Trace arcos auxiliares de centro O passando pelos pontos do arco menor.

   

6. Com distância P1 e centro 1' e 7', trace arcos passando pelo arco auxiliar que passa por esses pontos.

   

7. Repita o passo anterior para os demais pontos do arco.

   

8. Trace a curva ligando os pontos encontrados.

   

Equação paramétrica

A hipociclóide é uma curva plana gerada pela rotação de uma circunferência menor dentro de uma circunferência maior. Sua equação paramétrica é dada por:

Geogebra

Onde R é o raio da circunferência maior, r é o raio da circunferência menor, d é a distância entre o centro da circunferência menor e o ponto de geração da hipociclóide e t é o parâmetro que varia de 0 a 2π.

Essa equação paramétrica é útil para calcular e plotar a hipociclóide em um plano cartesiano. É possível observar que a forma da hipociclóide varia de acordo com os valores de R, r e d. Para valores específicos desses parâmetros, a hipociclóide pode se tornar uma curva notável, como a hipociclóide de três ciclos, por exemplo.

A equação paramétrica da hipociclóide pode ser utilizada em diversas aplicações, como na criação de engrenagens, na modelagem de movimentos planetários e em gráficos e desenhos artísticos.